Solução passo a passo:
Iniciamos com esta configuração, onde d1,
d2, d3, d4 e d5 são os transportes ("vai um") originados nas colunas
das unidades, dezenas, centenas, milhares e dezenas de milhar.
d5 d4 d3 d2 d1
T E M P O
E T
E R N O
------------------
S E M P R E
Vamos às deduções iniciais.
Na coluna das unidades a soma O + O = E indica que E é um número par.
Na coluna das centenas de milhar, d5 + E = S indica que d5=1,
portanto, na coluna anterior d4 + T + T = E + 10 determina que T é
maior ou igual a 5. A configuração
singular das colunas das dezenas e centenas, P + N = R e M + R = P, permite
deduzir o valor da soma do par conjugado M + N dependendo dos valores
de d1 e d2. Assim, existem 4 hipóteses:
i) d1=0, d2=0, M+N=10
ii) d1=1, d2=0, M+N=9
iii) d1=0, d1=1, M+N=9
iv) d1=1, d2=1, M+N=8
Essa dedução nos será
bastante útil nas etapas seguintes.
Não é possível deduzir nada mais nesta fase inicial, então, para não
ficarmos empacados, só nos resta partir para a geração e teste de
hipóteses, até obtermos a solução final do problema. Escolhendo a letra
T como base, e sabendo que T>=5, vamos testar
sucessivamente as hipóteses T=5, T=6, T=7, T=8 e T=9 só parando quando obtida a solução final. Começamos com
T=5.
Substituindo T por 5, obtemos:
1 d4 d3 d2 d1
5 E M P O
E 5
E R N O
------------------
S E M P R E
Observando a coluna das dezenas de milhar a soma d4 + 5
+ 5 = E + 10 indica que E=0 porque é par conforme já vimos no início.
Na coluna das unidades O + O = E, e fazendo E=0 então teríamos
O=5, o que é impossível porque o valor 5 já foi atribuído à letra T, e então abandonamos esta hipótese e passamos para a seguinte,
T=6. Substituindo T por 6, obtemos:
1 d4 d3 d2 d1
6 E M P O
E 6
E R N O
------------------
S E M P R E
Na coluna das dezenas de milhar a soma d4 + 6 + 6 = E + 10 indica que
E=2 porque é par conforme já vimos no início. Na coluna das unidades
temos O + O = E, e fazendo E=2 então teríamos O=1. Na coluna das
centenas de milhar, se E=2 então S=3. Fazendo
essas substituições de E, O e S obtemos:
1 d4 d3 d2 d1
6 2 M P
1
2 6
2 R N 1
------------------
3 2 M P R 2
Na coluna dos milhares temos d3 + 2 + 2 = M, indicando que há duas
hipóteses para M: M=4 ou M=5, dependendo do valor de d3. Observando
que d1=0, teremos apenas 2 hipóteses para a soma M+N, conforme já
vimos no início: i) d1=0, d2=0, M+N=10 e iii) d1=0, d1=1, M+N=9.
Combinando essas hipóteses com as hipóteses de M, teríamos então 3
possibilidades:
1. d1=0, d2=0, M+N=10, M=4, N=6
2. d1=0, d2=1, M+N=9, M=5, N=4
3. d1=0, d2=1, M+N=9, M=4, N=5
Testando essas 3 hipóteses verifica-se que não há valores viáveis para
as letras P e R. Então, abandonamos a hipótese T=6, voltamos à base e passamos
para a hipótese seguinte: T=7. Substituindo o T por 7, obtemos:
1 d4 d3 d2 d1
7 E M P O
E 7
E R N O
------------------
S E M P R E
Na coluna das dezenas de milhar a soma d4 + 7 + 7 = E + 10 indica que
E=4 porque é par conforme já vimos no início. Na coluna das unidades
temos O + O = E, e fazendo E=4 então teríamos O=2. Na coluna das
centenas de milhar, se E=4 então S=5. Fazendo
essas substituições de E, O e S obtemos:
1 0 d3 d2 0
7 4 M P
2
4 7
4 R N 2
------------------
5 4 M P R 4
Na coluna dos milhares temos d3 + 4 + 4 = M, indicando duas hipóteses
para M: M=8 ou M=9, dependendo do valor de d3. Observando que d1=0,
existem apenas 2 hipóteses para a soma M+N, conforme já vimos no
início: i) d1=0, d2=0, M+N=10 e iii) d1=0, d1=1, M+N=9. Combinando
essas hipóteses com as hipóteses de M, teríamos então apenas 2
possibilidades:
1. d1=0, d2=1, M+N=9, M=5, N=4
2. d1=0, d2=1, M+N=9, M=4, N=5
Testando essas 2 hipóteses verifica-se que os únicos valores viáveis
para as letras M, N, P e R são M=8, N=1, P=9 e R=0.
Todas as letras já foram
deduzidas e não há conflitos, portanto chegamos à solução final do
problema, que após feitas as últimas substituições fica assim:
1 0 0 1 0
7 4 8 9
2
4 7
4 0 1 2
------------------
5 4 8 9 0 4
A resposta do problema é, portanto, T=7, E=4, M=8, P=9, O=2, R=0, N=1
e S=5.